Ecuaciones Exponenciales

Ecuaciones Exponenciales - Definición - Métodos de resolución - Resolución de Ecuaciones Exponenciales, aplicando diferentes metodos - Ejemplos - Recursos y Materiales.

Definición

Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece como exponente. Usualmente la letra x es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra.

Por ejemplo: 2^x+2 = 16,

                      125^{2x + 5} = 625^x+4

El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes.

Para resolver una ecuación exponencial se debe tener en cuenta:

v La base es positiva: a > 0

v La solución de la ecuación exponencial con la forma af(x)= ag(x) es la solución (o soluciones) de la ecuación f(x) = g(x). Esto se debe a que dos potencias con la misma base son iguales si y sólo si sus exponentes son iguales.

v Si las bases no son iguales bases, se deben igualar.

v Las propiedades de las potencias.

Solución de las Ecuaciones Exponenciales

Existen dos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales.

vReducción a una base común.

Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base común a donde a es un número positivo, distinto de 1. Se busca una igualdad entre las potencias y se igualan los exponentes para obtener una ecuación.

vAplicación de logaritmos.

Se aplican logaritmos a conveniencia en ambos lados de la ecuación y se procede con las transformaciones algebraicas y las leyes de logaritmos conocidas.

Es importante saber que cuando se pueden escribir todos los términos de una Ecuación Exponencial como potencia de una misma base, se usa el método de igualación, en caso contrario debe resolverse por el método Logaritmos.

Propiedades de la Potencia.

Antes de resolver ecuaciones exponenciales es recomendable manejar las propiedades de la potencia, ya que sin estas sería casi imposible la resolución de expresiones logarítmicas.

Las propiedades de la potencia son las siguientes:

1 - Todo número elevado a “0” es igual a 1.

    b⁰ = b

Ejemplo: 

1. 7⁰ = 1

2. 285⁰ = 1 

2 - Todo número elevado a la unidad es igual a la misma base.

    m¹ = m

Ejemplo:

1. 9¹ = 9, 26¹ = 26 

3 - Producto de potencias con bases iguales.

Si se multiplican potencias con la misma base, el resultado será otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

(aⁿ ) (a^m ) = a^{n + m}

Ejemplo:

1. (a³ ) (a⁷ ) = a^{3 + 7} = a¹⁰

2. (3⁴ ) (3² ) = 3^{4 + 2} = 3⁶

Si se da el caso de que las bases sean diferentes, entonces se multiplican las bases y se suman los exponentes

Ejemplo:

 1. (a³ ) (b⁴ ) = ab^{3 + 4} = ab⁷

2. (3² ) (4³ ) = (3 x 4)^{2 + 3} = 12⁵        

4 - Potencia de potencia.

Si tenemos una potencia que a su vez está elevada a otra potencia, se deja la base igual y se multiplican los exponentes.   

(aⁿ)^m = a^{n x m}

Ejemplo:

 1. (5²)⁴ = 5^{2 x 4} = 5⁸

5 - Cociente de una potencia.

Si se dividen dos potencias con igual base, se deja la misma base y se restan los exponentes.   

Ejemplo:

Si las bases son distintas, se dividen las bases y se restan los exponentes.  

Ejemplo:

6 - Toda potencia de un numero distinto de cero, elevado a un numero negativo (-n) es el inverso del número elevado a la n.

Ejemplo:

Propiedades de los Logaritmos.

Antes de resolver ecuaciones exponenciales es recomendable manejar las propiedades de los Logaritmos, ya que sin estas sería casi imposible la resolución de ecuaciones Exponenciales, donde no es posible la resolución por el método de igualación.

Las propiedades de los Logaritmos son las siguientes

1-Logaritmo de la unidad.

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

log_b (1) = 0

Ejemplo:

1. log₅ (1) = 0    porque     5⁰ =1
2. log₇ (1) = 0   porque   7⁰ = 1
3. log₂₀ (1) = 0   ⇔  20⁰ = 1

2. Logaritmos de la base.

El logaritmo de la base es igual a 1.

log_b (b) = 1

Ejemplo:

1. log₅ (5) = 1  ⇔ 5¹ = 5

2. log₆ (6) = 1  ⇔ 6¹ = 6

3. log₁₂ (12) = 1  ⇔ 12¹ = 12

3- Logaritmo de una potencia con igual base.

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.

Log_b bⁿ = n

Ejemplo:

1. log₆ 6³ = 3

4- Logaritmo de un producto.

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log_b (a • c) = log_b a + log_b  c

Ejemplo:

1. log_b (5 • 2) = log_b 5 + log_b 2

5- Logaritmos de un cociente.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.

6- Logaritmo de una potencia.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

log_a cⁿ = n log_a c 

Ejemplo:

1. log₃ 10² = 2 log₃ 10

7-El logaritmo de una raíz.

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad su radical dividido entre el índice de la raíz.

8–Cambio de base.

El logaritmo de cualquier número, en cualquier base, es igual al logaritmo del numero dividido entre el logaritmo de la base, ambos logaritmos en la nueva base.

Ejemplo:

Luego de conocer los métodos de resolución de Ecuaciones Exponenciales, las propiedades de la Potencia y de los logaritmos, podemos resolver ecuaciones exponenciales, donde se apliquen los métodos y algunas de las propiedades conocidas.

Resolución de Ecuaciones Exponenciales por Reducción a una base común.

Ejercicio 1

4^x = 16

Paso 1 - Igualamos la base

(2²)^x = 2⁴

Paso 2 - Aplicamos en el primer miembro la igualdad de la propiedad potencia de una potencia.

Si (aⁿ)^m = a^nxm

2^2*x = 2⁴

2^2x = 2⁴

Paso 3 - Ya igualamos las bases de la ecuación, igualemos ahora los exponentes.

2x = 4

x = 4/2

x = 2

Comprobación

4^x = 16

x = 2

4² = 16

16 = 16

Ejercicio 2

4^{2x – 5} = 64

Paso 1 - Igualamos la base.

4^{2x – 5} = 4³

Si aⁿ = a^m entonces n = m

Paso 2 - Igualemos ahora los exponentes.

2x – 5 = 3

2x = 3 + 5

2x = 8

  x = 8/2

  x = 4

Comprobación

4^{2x – 5} = 64

x = 4

4^{2(4) – 5} = 64

4^{8 – 5} = 64

4³ = 64

64 = 64

Ejercicio 3

 (4 ^x-1) (8^{x + 1}) = 16^{x + 3}

Paso1 - Igualamos la base.

 (2²) ^x-1 (2³) ^x+1 = (2⁴)^{x + 3}

Paso 2 - Resolvemos las potencias de potencias en los 3 términos de la ecuación.

2^{2 (x-1)}  * 2^{3 (x+1)} = 2^{4(x + 3)}

2^2x-2  * 2^3x+3 = 2^{4x + 12}

Paso 3 - Resolvemos el producto de potencia en el primer miembro de la igualdad.

2^{2x-2 + 3x+3} = 2^{4x + 12}

2^5x+1 = 2^{4x + 12}

Paso 4 - Igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación resultante.

5x + 1 = 4x + 12

5x – 4x = 12 - 1

x = 11

Comprobación

Usaremos para la comprobación una ecuación equivalente.

2^5x+1 = 2^{4x + 12}

x = 11

2^{5(11) + 1} = 2^{4(11) + 12}

2^{55 + 1} = 2^{44 + 12}

2⁵⁶ = 2⁵⁶

Resolución de Ecuaciones Exponenciales por Logaritmos.

Ejercicio 1

6^x = 5^x

Aplicamos a ambos lados logaritmos en base 10

log 6^x = log 5^x

Aplicamos la propiedad de potencia de dos logaritmos

x log 6 = x log 5

Como ambos miembros tiene incógnita, pasamos el término del 2^do miembro al 1^er con la operación contraria.

x log 6  - x log 5 = 0

Sacamos factor común de los términos

x (log 6  - log 5) = 0

Por la propiedad del factor nulo, concluimos que

x = 0

Comprobación

Ecuación original

6^x = 5^x

x = 0

6⁰ = 5⁰

Todo número elevado a la cero (0) es igual a 1.

1 = 1

Ejercicio 2

3^{x + 1} = 9^x

Aplicamos logaritmos en base 3:

3^{x + 1} = 9^x

log₃(3^{x + 1}) = log₃ (9^x)

Escribimos los exponentes fuera de los logaritmos:

log₃(3^{x + 1}) = log₃ (9^x)

(x+1) . log₃(3) = x . log₃(9)

Calculamos los logaritmos

log₃(3) = 1

log₃(9) = log₃(3²)

            =  2 . log₃(3) = 2

Por tanto, la ecuación queda como

x + 1 = 2x

x – 2x = 1

x = 1

Comprobación

Ecuación original

3^{x + 1} = 9^x

x = 1

3^{1 + 1} = 9¹

3² = 9¹

9  = 9